已知ABCDEF是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA。 求证:BC/BE+DE/DA+FA/FC>=3/2. 证明 记AC=a,CE=b,AE=c。对四边形ACEF运用Ptolemy不等式得:AC*EF+CE*AF≥CF*AE，<==> a*EF+b*AF≥CF*c因为EF=AF，所以 FA/CF≥c/(a+b);同理可得DE/DA≥b/(c+a); BC/BE≥a/(b+c).故有BC/BE+DE/DA+FA/FC≥a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ， (1)所以欲证BC/BE+DE/DA+FA/FC≥3/2. (2)只需证 a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2 (3)根据柯西不等式得[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]*[ a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]≥(a+b+c)^2<===>2(a+b+c)^2≥3[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]<==> (b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2≥0, 显然成立.易验证当正六边形时等号成立。