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  • 初中数学竞赛几何题

    在各边不相等的ΔABC中,G,I,H分别为ΔABC的重心，内心与垂心.证明:∠GIH>π/2.

    提问者：安东在线

    发布于2010-10-07

共1个回答
  • 安鸿在线 丨Lv 2
    证明 设s,R,r分别表示ΔABC的半周长，外接圆与内切圆半径。因为ΔABC的各边不相等,所以ΔABC的重心，内心与垂心.运用重心性质计算得:9HG^2=4(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) ，9IG^2=s^2-16Rr+5r^2，再由余弦定理可求得:IH^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2。欲证∠GIH>π/2, 只需证HG^2-IG^2-IH^2>0即9*(HG^2-IG^2-IH^2)=4(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)-(s^2-16Rr+5r^2)-9(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)=12r(R-2r)≥0 由欧拉不等式即知上式成立.所以∠GIH>π/2。
    +10 2010-10-07 举报
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