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  • 高中几何问题-4

    设P是△ABC内一点，AP,BP,CP延长交边BC,CA,AB于D,E,F.R为△ABC的外接圆半径.证明与否定: 1/PA+1/PB+1/PC+1/PD+1/PE+1/PF≥9/R.

    提问者：七年为限

    发布于2010-10-06

共1个回答
  • immarlerype 丨Lv 0
    简证 过P点作PK⊥BC,PM⊥CA,PN⊥AB,垂足分别为K,M,N. ha,hb,hc分别是△ABC边BC,CA,AB上的高. 记BC=a,CA=b,AB=c. 由相似比得: PD=PA*PK/(ha-PK); PE=PB*PM/(hb-PM); PF=PC*PN/(hc-PN). 故 1/PA+1/PB+1/PC1/PD+1/PE+1/PF =ha/(PA*PK)+hb/(PB*PM)+hc/(PC*PN). 据三角形恒等式:2Rha=bc,2Rhb=ca,2Rhc=ab, 所以所证不等式等价于 X=bc/(PA*PK)+ca/(PB*PM)+ab/(PC*PN)≥18. (1) 因为有已知不等式: Y=PA*PK/bc+PB*PM/ca+PC*PN/ab≤1/2 (2) (2)式P为锐角三角形外心时取等号. 而X*Y≥9, 故X≥18.
    +1 2010-10-07 举报
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