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  • 初中几何-1

    设与△ABC三边AB，BC，CA外侧分别相切，且又和△ABC的外接圆相切的三个圆半径分别为x,y,z，△ABC的外接圆和内切圆半径分别R,r。求证:16xyz=Rr^2。

    提问者：kaisibaoer

    发布于2010-09-30

共1个回答
  • xshbxqy 丨Lv 3
    证明 设BC=a，CA=b,AB=c, s, △分别为半周长和面积，O为△ABC的外接圆圆心.令圆Q与AB外侧和△ABC的外接圆相切, 圆Q的半径为x，连OA,OB和OQ，OQ分别交AB和外接圆O于D,E. 则2x=DE=OE-OD=R-RcosC=R(1-cosC)=2R(s-a)(s-b)/ab.得 x=R(s-a)(s-b)/ab (1)同理可得:y=R(s-b)(s-c)/bc; (2)z=R(s-c)(s-a)/ca (3)(1)*(2)*(3)得:xyz=R^3*[(s-a)(s-b)(s-c)]^2/(abc)^2据三角形恒等式: (s-a)(s-b)(s-c)=sr^2,abc=4Rsr,得xyz=R^3*s^2*r^4/(16R^2*s^2*r^2)=Rr^2/2故得 16xyz=Rr^2.
    +1 2010-09-30 举报
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