三角形ABC三边长分别是BC=17，CA=18,AB=19,过三角形ABC内的点P向三角形ABCBC,CA,AB边分别作垂线PD,PE,PF,而且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长度. 解 因为 BD+CE+AF=27,AB+BC+CA=54 所以BF+AE+CD=27 设x=CD,y=AE,z=BF,则x+y+z=27 则BD=17-x,CE=18-y,AF=19-z BD+BF=17-x+z 由于过D,E,F分别作对应边的垂线共点 所以BD^2+CE^2+AF^2=BF^2+AE^2+CD^2(可通过勾股定理证得) 代入得(17-x)^2+(18-y)^2+(19-z)^2=x^2+y^2+z^2 消去平方项，并移项，得 34x+36y+38z=17^2+18^2+19^2 2(z-x)=17^2+18^2+19^2-36(x+y+z)=17^2+18^2+19^2-36*27 =17^2+18^2+19^2-3*18^2 =(17^2-18^2)+(19^2-18^2)=2 所以z-x=1，所以17+z-x=18 所以BD+CE=18