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  • 一道几何难题求助

    是否存在一个正多边形，它的边等于最长的对角线减去最短的对角线？

    提问者：luoli897

    发布于2010-09-30

共1个回答
  • shoesbuyonline 丨Lv 1
    是否存在一个正多边形，它的边等于最长的对角线减去最短的对角线？证明 设正多边形的外接圆直径为1，则圆心角α所对的弦长为sin(α/2) ，若n=2k，则所说正多边形满足:f(k)=sin(π/k)+sin(π/2k)=1f(k) 单调递减，f(4)>1>f(5) ，故此时无解。若n=2k+1≥5，则所说正多边形满足:sin[π/(2k+1)]+sin[2π/(2k+1)]=sin[kπ/(2k+1)]=cos{π/[2(2k+1)]}由于π/[2(2k+1)]=x≤π/10，cosx≠0，上式即为cosx=sin(2x)+sin(4x)=2cosx*sin(3x)从而 sin(3x)=1/2，3x=π/6，即n=9，经验证n=9是唯一的解。
    +1 2010-09-30 举报
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