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  • 初中三角形重心的一个问题

    在△ABC中,重心为G,过G作一直线,交AB于H,交AC于T 且AH/AB=h,AT/AC=k.求证:1/h+1/k=3

    提问者：yxh-lcf

    发布于2010-09-08

共1个回答
  • 鲁虺文化 丨Lv 3
    证明 延长HT与BC的延长线交于X，延长AG交BC于D，则可得:BD=CD，CX+BX=DX-CD+DX+BD=2DX。因为G为△ABC的重心，所以AG/GD=2。 (1)对于△ABD和△ACD与直线HTX符合梅涅劳斯定理，所以得:(AH/HB)*(BX/XD)*(DG/GA)=1由(1)得: (AH/HB)*(BX/XD)=2<==> BH/AH=BX/(2DX)<==> AB/AH=(BX+2DX)/(2DX) (2)对于△ACD与直线HTX符合梅涅劳斯定理，所以得:(AG/GD)*(DX/XC)*(CT/TA)=1由(1)得: (DX/XC)*(CT/TA)=1/2<==> CT/AT=CX/(2DX)<==> AC/AT=(BX+2DX)/(2DX) (3)（2）+（3）得：1/h+1/k=AB/AH+AC/AT=(4DX+BX+CX)/(2DX)=3.
    +1 2010-09-09 举报
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