初中几何极值题-业主生活–手机房天下问答

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无极千手丨Lv 2

已知三角形ABC的三边AB=9,BC=21,CA=15.O是三角形ABC内部一点[包括边与顶点上] 求T=AO+BO+CO的最小值.解因为AB=9,BC=21,CA=15.由余弦定理可求得:cosA=(9^2+15^2-21^2)/(2*9*15)=-1/2.所以A=120°.下面来证明 24≤T.延长CA至E,使得AE=AB,连BE,OE.那么△AEB是正三角形.在凸四边形AEBO中,由托勒密不等式:AE*BO+BE*AO≥AB*OE故得 AO+BO≥OE. (1)当∠AOB=120°时,取等号在△COE中,有CO+OE≥CE=CA+AE=CA+AB. (2)当O点在线段AC上时,取等号因此 T=AO+BO+CO≥OE+CO≥CA+AB=9+15=24.

+1 2010-08-19 举报