根据相关规定，公共平台属于共有部分，不能被个人占用或私自搭建。如果对方在十五年以前用一千元购买了公共平台，并在上面搭建了有声雨棚，导致雨水长年溅到墙上，使另一方的装修墙纸脱落，可以采取以下措施解决问题。首先，您可以与对方沟通，说明他的行为对您造成了损失，并提出要求他拆除有声雨棚，修复墙面。如果对方同意解决问题，您可以协商具体的时间和方式。如果对方不同意解决问题，您可以向物业管理部门或业主委员会投诉，要求他们介入调解。物业管理部门或业主委员会可以组织双方进行协商，并根据实际情况提出解决方案。如果经过协商和调解仍无法解决问题，您可以向有关部门投诉，如房地产管理部门或住房城乡建设部门。他们会根据相关规定和法律法规对问题进行处理，维护您的合法权益。总之，对方私自占用公共平台并搭建有声雨棚，导致您的装修墙纸脱落是违法行为，您有权采取合法的方式维护自己的权益。建议您先与对方沟通解决，如果无法达成一致，可以寻求物业管理部门或有关部门的帮助。- AI整理生成 -