0$房天下问答|一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多$https://m.fang.com/ask/ask_2134749.html$https://static.soufunimg.com/common_m/m_public/201511/images/asksharedefault.png
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一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多
一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32人,而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次.对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层.问:电梯停在哪一层,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)
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电梯
首层
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提问者:gracie.l
发布于2011-04-30
共2个回答
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搜房网友
丨Lv 10
解:由题意易知,这32个人恰好是第2层至第33层各住1人,对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数.事实上,设住s层的人乘电梯,而住在t层的人直接上楼,s<t,交换两人的上楼方式,其余的人不变,则不满意的总分减少.设电梯停在第x层,在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼,那么不满意的总分为:s=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+…+y)+[1+2+…+(x-y-2)],=$\frac{3×(33-x)(34-x)}{2}$+$\frac{3y(y+1)}{2}$+$\frac{(x-y-2)(x-y-1)}{2}$,=2x2-(y+102)x+2y2+3y+1684,=2(x-$\frac{y+102}{4}$)2+$\frac{1}{8}$(15y2-180y+3068),=2(x-$\frac{y+102}{4}$)2+$\frac{15}{8}$(y-6)2+316≥316.又当x=27,y=6时,s=316,故当电梯停在第27层时,不满意的总分最小,最小值为316.
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搜房网友
丨Lv 10
解:由题意易知,这32个人恰好是第2层至第33层各住1人,对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数.事实上,设住s层的人乘电梯,而住在t层的人直接上楼,s<t,交换两人的上楼方式,其余的人不变,则不满意的总分减少. 设电梯停在第x层,在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼,那么不满意的总分为: s=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+…+y)+[1+2+…+(x-y-2)], =$\frac{3×(33-x)(34-x)}{2}$+$\frac{3y(y+1)}{2}$+$\frac{(x-y-2)(x-y-1)}{2}$, =2x2-(y+102)x+2y2+3y+1684, =2(x-$\frac{y+102}{4}$)2+$\frac{1}{8}$(15y2-180y+3068), =2(x-$\frac{y+102}{4}$)2+$\frac{15}{8}$(y-6)2+316≥316. 又当x=27,y=6时,s=316, 故当电梯停在第27层时,不满意的总分最小,最小值为316.
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