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  • 正三角形问题

    题目 在正ΔABC中，D，E，F分别在线段BC，CA，AB上，记ΔAEF，ΔBFD，ΔCDE，ΔDEF的周长分别为X,Y,Z,T。求证 1/X+1/Y+1/Z≥3/T.

    提问者：ssll0591

    发布于2011-01-06

共1个回答
  • gskxlmjwkwk 丨Lv 2
    证明 在ΔAEF中，由余弦定理得:EF^2=AE^2+AF^2-2AE*AF*cos60°=AE^2+AF^2-AE*AF=(AE+AF)^2/4+3(AE-AF)^2/4≥(AE+AF)^2/4故 2EF≥AE+AF，所以得:3EF≥AE+AF+EF=X (1-1)同样方法可得:3FD≥Y (1-2)3DE≥Z (1-3)因此1/X+1/Y+1/Z≥(1/EF+1/FD+1/DE)/3.由柯西不等式得:(EF+FD+DE)*(1/EF+1/FD+1/DE)≥9<==> 1/EF+1/FD+1/DE≥9/(EF+FD+DE)=9/T.故有 1/X+1/Y+1/Z≥3/T .
    +1 2011-01-06 举报
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