证明 设∠BCP=x,则∠CBP=80°-x.由塞瓦定理的等价式得:sin20°*sin40°*sin(80°-x)=sin10°*sin30°*sinx<====> 4cos10°*sin40°*(sin80°*cosx-sinx*cos80°=sinx<====>tanx=(4cos10°*sin40°*sin80°)/(4cos10°*sin40°*cos80°+1)注意下面三角恒等变换:4cos10°*sin40°*cos80°+1=2sin40°cos70°+1=2cos50°cos70°+1=1+cos120°+cos20°=1/2+cos20°,4cos10°*sin40°*sin80°=2cos10°*(cos40°-cos120°)=cos10°+2cos10°*cos40°=cos10°+cos30°+cos50°=cos30°+2cos20°*cos30°=cos30°(1+2cos20°)=√3*(1/2+cos20°)故得：tanx=√3 即 x=60°.所以∠ACB=80°-60°+30°=50=∠BAC.因此三角形ABC是等腰三角形.