因为：当x≥0时，(x^+1)-2x=(x-1)^≥0所以：x^+1≥2x那么，0≤2x/(1+x^)≤1又因为：当x≤0时，(x^+1)-2x=(x-1)^≥0所以：x^+1≥2x那么，-1≤2x/(1+x^)≤0所以，-1≤f(x)=2x/(1+x^)≤1,这就是其值域。很明显，有：f(-x)=-2x/[1+(-x)^]=-2x/(1+x^)=-f(x)所以，该函数为奇函数。f'(x)=[2(1+x^)-2x(2x)]/(1+x^)^=2(1-x^)/(1+x^)^所以：当x∈(-∞,-1)时，f'(x)<0,所以：f(x)为减函数；当x∈[-1,1]时，f'(x)>0,所以：f(x)为增函数；当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0,所以：f(x)为减函数.综上述，函数f(x)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上为减函数，在[-1,1]上为增函数。

因为：当x≥0时，(x^+1)-2x=(x-1)^≥0 所以：x^+1≥2x 那么，0≤2x/(1+x^)≤1 又因为：当x≤0时，(x^+1)-2x=(x-1)^≥0 所以：x^+1≥2x 那么，-1≤2x/(1+x^)≤0 所以，-1≤f(x)=2x/(1+x^)≤1,这就是其值域。 很明显，有：f(-x)=-2x/[1+(-x)^]=-2x/(1+x^)=-f(x) 所以，该函数为奇函数。 f'(x)=[2(1+x^)-2x(2x)]/(1+x^)^=2(1-x^)/(1+x^)^ 所以： 当x∈(-∞,-1)时，f'(x)<0,所以：f(x)为减函数； 当x∈[-1,1]时，f'(x)>0,所以：f(x)为增函数； 当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0,所以：f(x)为减函数. 综上述，函数f(x)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上为减函数，在[-1,1]上为增函数。