在ΔABC中，求证[sin(B/2)+sin(C/2)]^2+[sin(C/2)+sin(A/2)]^2+[sin(A/2)+sin(B/2)]^2≤3证明 设x=tan(A/2), y=tan(B/2), z=tan(C/2) ，则x,y,z>0。据万能置换公式得: sin(A/2)=x/√(1+x^2); sin(B/2)=y/√(1+y^2); sin(C/2)=z/√(1+z^2).对所证不等式作置换得:[y/√(1+y^2)+z/√(1+z^2)]^2+[z/√(1+z^2)+x/√(1+x^2)]^2+[x/√(1+x^2)+y/√(1+y^2)]^2≤3注意到yz+zx+xy=1，上述两端同乘(y+z)*(z+x)*(x+y) 即证:[y√(z+x)+z√(x+y)]^2+[z√(x+y)+x√(y+z)]^2+[x√(y+z)+y√(z+x)]^2≤3(y+z)*(z+x)*(x+y)[y√(z+x)+z√(x+y)]^2=y^2*(z+x)+z^2*(x+y)+2yz√[(z+x)(x+y)]≤y^2*(z+x)+z^2*(x+y)+yz[(z+x)+(x+y)]=2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2) ，即得:[y√(z+x)+z√(x+y)]^2≤2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2) (1)同理可得:[z√(x+y)+x√(y+z)]^2≤2xyz+2zx(z+x)+y(z^2+x^2) (2)[x√(y+z)+y√(z+x)]^2≤2xyz+2xy(x+y)+z(x^2+y^2) (3)(1)+(2)+(3)得:[y√(z+x)+z√(x+y)]^2+[z√(x+y)+x√(y+z)]^2+[x√(y+z)+y√(z+x)]^2≤2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2)+2xyz+2zx(z+x)+y(z^2+x^2)+2xyz+2xy(x+y)+z(x^2+y^2)=3(y+z)*(z+x)*(x+y).证毕。