1)已知,M,N为三角形ABC的边BC上的两个点 ,且满足BM=MN=NC,一条平行于AC的直线交AB,AM,AN的延长线于点D,E,F.求证EF=3DE. 2)已知,M,N分别是正六边形ABCDEF的边CD,DE的中点,BN与AM相交于点P,试求:BP:PN的值.证(1) 过M作MG∥AC交AC于G，过N作NH∥AC交AC于G，交AM于K。显然有 KN=AC/2, HN=2AC/3, MG=AC/3, MG=HN/2。所以 HK=HN-KN=2AC/3-AC/2=AC/6，故得 KN=3HK.根据相似比 AE/AK=DE/HK=EF/KN，从而得:3DE=EF。解(2) 连MN。设正六边形ABCDEF的外接圆半径为R，圆心为O,则正六边形ABCDEF的边长为R,因为:R^2-PO^2=BP*PN,R^2-PO^2=AP*PM,所以A,B,M,N四点共圆。故有 EF/AB=PM/BP, AB/EF=AP/PN。易求得:EF/AB=√3/2，所以 AP=2PN/√3, PM=√3BP/2.易证 AM=BN，于是 BN=BP+PN=AP+PM=2PN/√3+√3BP/2.<==> BP(2-√3)/2=PN(2√3-3)/3<==> BP/PN=[(2√3-3)/3]/[(2-√3)/2]<==> BP/PN=2/√3.

（1） 延长CB 和 FD 交于G点，设MN=a,AC=b,DE=c,DF=d. 由条件DF平行于AC易得 △BDG∽△BAC,△MEG∽△MAC,△NFG∽△NAC. 由这三个相似关系可以得到如下比例方程： (3a)/x=b/y..........① (2a)/(a+x)=b/(c+y).........② a/(2a+x)=b/(d+y)...........③先由①式得x和y的关系 ，再代入其他两式之一得x与其他量的关系，最终可得 x=(6ac-3ab)/b y=2c-b 然后再将x和y代入③式中，化简得4c=d 即4DE＝DF 即EF＝3DE （2）