解:x^2-4≥0,得x≥2,或x≤-2y=x/2+[√(x^2-4)]/4y-x/2=[√(x^2-4)]/4两边平方整理得:3x^2-16xy+16y^2+4=0设g(x)=3x^2-16xy+16y^2+4=3(x-8y/3)^2+4-16y^2/3函数g(x)与x轴交点的位置在(-∞,-2]∪[2,+∞)当8y/3≤-2,即y≤-3/4时要使得函数g(x)与x轴交点的位置在(-∞,-2]∪[2,+∞)只要满足g(8y/3)≤0,即4-16y^2/3≤0,得y≤-√3/2,或y≥√3/2因为y≤-3/4,所以y≤-√3/2当-2<8y/3≤2,即-3/4<y≤3/4时要使得函数g(x)与x轴交点的位置在(-∞,-2]∪[2,+∞)只要满足f(-2)≤0,f(2)≤0,即12+32y+16y^2+4≤0,得y=-1,矛盾.12-32y+16y+4≤0,得y=1,矛盾当8y/3>2,即x>3/4时要使得函数g(x)与x轴交点的位置在(-∞,-2]∪[2,+∞)只要满足g(8y/3)≤0,即4-16y^2/3≤0,得y≤-√3/2,或y≥√3/2因为y>3/4,所以y≥√3/2所以f(x)当x∈(-∞,-2]有最大值为-√3/2当x∈[2,+∞)有最小值√3/2

对于无理函数f(x)=tx+√(x^2+r^2) ，(r>0)︱t︱>1，当x=-rt/√(t^2-1)时，有fmax=-r√(t^2-1)。此命题证明简单.所以函数f(x)=2x+√(x^2-4)，当x=-4/√3时，有最大值为-2√3.