直接用Cauchy不等式。。。

(1)m+n<=1 -> m<=1-n -> 1/m>=1/(1-n) (2)要证明 a^2/m +b^2/n >=(a+b)^2 即证 a^2/m +b^2/n >=a^2+b^2+2ab 即证 a^2(1/m - 1)+b^2(1/n - 1)>=2ab将1/m>=1/(1-n)带入左侧左侧=a^2(1/m - 1)+b^2(1/n - 1)>=a^2[1/(1-n) - 1]+b^2(1/n - 1)=a^2[n/(1-n)]+b^2[(1-n)/n]因为0<n<1,所以n/(1-n)和(1-n)/n都大于0所以根据公式a^2 +b^2 >=2ab 可得 a^2[n/(1-n)]+b^2[(1-n)/n]>=2a√[n/(1-n)] * b√[(1-n)/n]=2ab*√{[n/(1-n)][(1-n)/n]}=2ab所以，此题得证

证明:用相减法:a^2/m+b^2/n-(a+b)^2=(na^2+mb^2-mna^2-mnb^2-2mnab)/mn=[na^2(1-m)+mb^2(1-n)-2mnab]/mn因为m+n≤1,所以1-m≥n,1-n≥m,又0<m<1,0<n<1所以[na^2(1-m)+mb^2(1-n)-2mnab]/mn≥[n^2a^2+m^2b^2-2mnab]/mn=(na-mb)^2/mn≥0所以a^2/m +b^2/n >=(a+b)^2

设a,b为实数,0<m<1 0<n<1 m+n<=1 求证a^2/m +b^2/n >=(a+b)^2证明 用Cauchy不等式:(m+n)*(a^2/m +b^2/n )>=(a+b)^2.即得:a^2/m +b^2/n >=(a+b)^2