求助证明一几何问题-业主生活

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如同怀念丨Lv 3

设P是三角形ABC平面上一点，D，E，F; K，M，N分别线段BC，CA，AB; AP，BP，CP上的中点。求证 BC*KD^2+CA*ME^2+AB*NF^2>=BC*CA*AB 证连EF,MN,NE,MF。因为EF∥BC，EF=BC/2,MN∥BC,MN=BC/2，所以EF∥MN,EF=MN.故四边形EFMN为平行四边形，即EM与FN互相平分，交点为O。同理可证:EM与KD互相平分;KD与FN互相平分.因此KD,EM,FN三线共点于O.连PO且延长至Q，使PO=OQ。则KO∥AQ,KO=AQ/2.故KD=AQ。同理可得:ME=BQ,NF=CQ。根据林鹤一不等式:BC*AQ^2+CA*BQ^2+AB*CQ^2>=BC*CA*AB所以BC*KD^2+CA*ME^2+AB*NF^2>=BC*CA*AB.证毕。

+1 2010-11-09 举报