设n>=3，x,y为奇数。 试证 2^n总可以表成:7x^2+y^2, 证明 当 n=3时，2^3=8=7*1^2+1^2，结论成立。设 2^n=7x^2+y^2,x,y为奇数.由于 2=7*(1/2)^2+(1/2)^2.所以得 2^(n+1)=(7x^2+y^2)*[7*(1/2)^2+(1/2)^2], (1)上式可分解成下列两式:2^(n+1)=7(x/2+y/2)^2+(7x/2-y/2)^2 (2)2^(n+1)=7(x/2-y/2)^2+(7x/2+y/2)^2 (3)由于x,y都是奇数，所以(x+y)/2，，(7x-y)/2都是整数.如果 (x+y)/2是奇数，则(7x-y)/2=4x-(x+y)/2 也是奇数;如果 (x+y)/2是偶数，那么(x-y)/2=(x+y)/2-y 是奇数，(7x+y)/2=3x+(x+y)/2也是奇数。所以(2),(3)式就是我们所需要的表达式。证毕。