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  • 一道初中几何问题

    在圆内接六边形ABCDEF中,己知AB=BC,CD=DE,EF=FA.求证 AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AD+BE+CF

    提问者：BOSS007

    发布于2010-08-19

共1个回答
  • RooRu 丨Lv 2
    证明 连BD,DF,FB,设BE与DF交于L,AD与FB交于N,CF与BD交于M.∵AB=BC,CD=DE,EF=FA.∴∠FLB=∠FEB+∠DFE=∠FDB+∠DFE=∠FDA+∠BDA+∠DFE=90°.故BL是三角形BDF边DF上的高.同样可证 DN是三角形BDF边FB上的高;FM是三角形BDF边BD上的高.故高BL,DN,FM交于H,H是三角形BDF的垂心.由全等三角形可证得:HE=HL+LE=2HL,HC=2HM,HA=2HN.HD=DE,HB=BC,HF=AF由厄迪斯—莫德尔不等式得,HB+HD+HF≥2(HL+HN+HM)=HE+HA+HC.因此AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(AB+CD+EF)=2(HB+HD+HF)≥HE+HA+HC+HB+HD+HF=AD+BE+CF.当AB=CD=EF时,取等号.
    +1 2010-08-19 举报
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